Der aussagenlogische Schluss

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Beispiel - Der logische Schluss

Betrachten wir einen Ausschnitt aus der Wumpus-Welt:
Nehmen wir an, die Formelmenge Γ besteht aus folgenden Formeln:

• γ₁=luftzug_b1->falle_c1|falle_b2
• γ₂=!luftzug_a2->!falle_b2&!falle_a3
• γ₃=luftzug_b1
• γ₄=!luftzug_a2

Wir wollen zeigen dass wir daraus

• γ=falle_c1

logisch schließen können, dass also Γ|=γ gültig ist.

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Betrachten wir γ₃ und γ₄ sehen wir sofort, dass jedes Modell von Γ folgendes erfüllen muss:

• I(luftzug_b1)=1
• I(luftzug_a2)=0

Betrachten wir nun γ₂, so sehen wir, dass jedes Modell von Γ weiters folgendes erfüllen muss (da I(luftzug_a2)=0):

• I(falle_b2)=0
• I(falle_a3)=0

Aus der bisherigen Bestimmung der Interpretation und γ₁ folgt, dass jedes Modell von Γ auch folgendes erfüllen muss:

• I(falle_c1)=1

Γ hat also nur 1 Modell - d.h. die Menge der Modelle hat nur ein Element:

• Mod(Γ) = { m₁ = {luftzug_b1→1, luftzug_a2→0, falle_b2→0, falle_a3→0, falle_c1→1} }

Betrachten wir nun γ, so sehen wir, dass m₁ auch ein Modell von γ ist. Somit gilt

• Mod(Γ) ⊆ Mod(γ)

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Γ|=γ ist also (semantisch) gültig

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