Evaluierung einer Formel

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Beispiel - Evaluierung einer Formel

Evaluieren wir die Formel

• γ = (p->q)&(p&q->r)->(p->r)

unter der Interpretation

• I = { p→ 1 , q→ 0 , r→ 1 }

und bewerten wir die atomaren Formeln in folgender Reihenfolge

• [ r , p , q ]

Schritt 0: Die Menge der Teilformeln besteht aus (p->q)&(p&q->r)->(p->r) p->r (p->q)&(p&q->r) p&q->r p&q p->q r q p		Wir wollen die Teilformeln hier wegen der Übersichtlichkeit jeweils unter den Formeln darstellen, die sie enthalten. Eine Zeile der untenstehenden Tabelle entspricht einer Teilformel, die ausgegrauten Zeilen entsprechen den noch nicht evaluierten Teilformeln. Schritt Teilformel Bewertung (p->q)&(p&q->r)->(p->r) p->r (p->q)&(p&q->r) p&q->r p&q p->q rr qq ppp
Schritt 1: Wir bewerten die erste atomare Formel - r		Schritt Teilformel Bewertung (p->q)&(p&q->r)->(p->r) p->r (p->q)&(p&q->r) p&q->r p&q p->q 1 rr 1 qq ppp
Schritt 2: Wir evaluieren alle Teilformeln, deren Bewertung sich aus dem Wert von r ergibt. Da die Implikation immer wahr ist, wenn die Konklusion wahr ist, können wir sofort folgende Teilformeln bewerten: p->r p&q->r		Schritt Teilformel Bewertung (p->q)&(p&q->r)->(p->r) 2 p->r 1 (p->q)&(p&q->r) 2 p&q->r 1 p&q p->q 1 rr 1 qq ppp
Schritt 3: Betrachten wir die bereits bewerteten Teilformeln und die Evaluierungs-Regel für die Implikation, sehen wir, dass wir bereits γ bewerten können.		Schritt Teilformel Bewertung 3 (p->q)&(p&q->r)->(p->r) 1 2 p->r 1 (p->q)&(p&q->r) 2 p&q->r 1 p&q p->q 1 rr 1 qq ppp

Wie wir sehen, haben wir bei der Evaluierung von γ die Bewertung von 5 Teilformeln eingespart!

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