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Formationsregeln

(Aussagenlogik Kapitel 3.2)

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Die Formationsregeln legen fest, wie aus dem Alphabet syntaktisch korrekte Sätze, sog. Formeln, gebildet werden können, also wie wir die zur Verfügung stehenden Zeichen aneinanderreihen dürfen, sodass von der äußeren Struktur korrekte Sätze entstehen.

Wir definieren die Formationsregeln der Aussagenlogik, basierend auf unserem zuvor definierten Alphabet, induktiv (also "vom Besonderen auf das Allgemeine").

  1. Wir wollen Elementaraussagen darstellen können:
    Atomare Formeln sind Aneinanderreihungen der Zeichen
    • a-z
    • 0-9
    • _
    in beliebiger Reihenfolge.

    Atomare Formeln sind Formeln.

    Beispiel - Formeln (1)

    • p
    • q12
    • mein_hund_rex
    • wumpus_a_1
    • ostwind
    • afsd
    sind Formeln.

    ACHTUNG!

    Wir lassen in unserer Syntax beliebige Zeichenketten bestehend aus den Zeichen {a-z, 0-9, _} für atomare Formeln zu.
    Dies gibt uns die Möglichkeit, Elementaraussagen auf Symbolketten abzubilden, die unseren umgangssprachlichen Worten gleichen oder ähneln, und soll die Abstraktion erleichtern.
    Wir müssen uns aber im Klaren darüber sein, dass atomare Formeln nur Platzhalter für beliebige Inhalte sind, deren Bewertungen erst durch die Semantik zugewiesen werden.

    Beispiel - Bedeutung atomarer Formeln

    Die Atome
    • zwetschke
    • p
    • wumpus_a_1
    haben ad hoc die gleiche, nämlich gar keine, Bedeutung.

    In unserer Welt können diese z.B. dafür stehen, dass der Krampus kommt.
    Mittels einer Interpretation können wir ihnen dann die Bewertung wahr oder falsch zuweisen, je nachdem, ob wir brav waren, oder nicht.
  2. Die Zeichen
    • T
    • F
    sind Formeln.
  3. Wir wollen die Negation einer Formel darstellen können. Hierfür haben wir bereits das Symbol ! in das Alphabet inkludiert, und definieren nun:
    Ist γ eine Formel, so ist auch !γ eine Formel.

    Beispiel - Formeln (2)

    • !es_regnet_heute
    • !gestank_b_2
    • !sdavasd_ysdg123_124
    sind Formeln.
  4. Wir wollen die Konjunktion zweier Formeln darstellen können. Hierfür haben wir bereits das Symbol & in das Alphabet inkludiert, und definieren nun:
    Sind γ und δ Formeln, so ist auch γ&δ eine Formel.

    Beispiel - Formeln (3)

    • es_ist_warm&ich_habe_lust_auf_ein_eis
    • p&q
    • ostwind&nebel
    • luftzug_b_1&!luftzug_a_2
    • !ich&ich
    sind Formeln.
  5. Wir wollen die Disjunktion zweier Formeln darstellen können. Hierfür haben wir bereits das Symbol | in das Alphabet inkludiert, und definieren nun:
    Sind γ und δ Formeln, so ist auch γ|δ eine Formel.

    Beispiel - Formeln (4)

    • pudding|kuchen
    • p|k
    • es_ist_warm&ich_habe_lust_auf_ein_eis|es_regnet_heute
    • falle_b_2|falle_c_1
    • !floete_ueben|tuere_geschlossen
    sind Formeln.
  6. Wir wollen die Implikation zwischen zwei Formeln darstellen können. Hierfür haben wir bereits das Symbol -> in das Alphabet inkludiert, und definieren nun:
    Sind γ und δ Formeln, so ist auch γ->δ eine Formel.

    Beispiel - Formeln (5)

    • es_regnet->die_strasse_ist_nass
    • p->q
    • es_ist_warm&!es_regnet->ich_gehe_schwimmen|ich_gehe_eis_essen
    • falle_c_3->luftzug_c_2
    • ostwind->sonne
    sind Formeln.
  7. Wir wollen die materiale Äquivalenz zweier Formeln darstellen können. Hierfür haben wir bereits das Symbol <-> in das Alphabet inkludiert, und definieren nun:
    Sind γ und δ Formeln, so ist auch γ<->δ eine Formel.

    Beispiel - Formeln (6)

    • durch_3_teilbar<->ziffernsumme_durch_3_teilbar
    • p<->q
    • ich<->du->er|sie&es->sparen
    • glitzern_b_2<->gold_b_2
    sind Formeln.
  8. Für die eindeutige Gliederung haben wir bereits die Symbole ( und ) in das Alphabet inkludiert, und definieren nun:
    Ist γ eine Formel, so ist auch (γ) eine Formel.

    Beispiel - Formeln (7)

    • (!es_regnet->ich_gehe_schwimmen)
    • p&(p|q)
    • a->(b->(c&d)|e)
    • es_ist_warm&(!es_regnet->ich_gehe_schwimmen)|ich_gehe_eis_essen
    sind Formeln.
  9. Nichts anderes ist eine aussagenlogische Formel.