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Die (materiale) Implikation: WENN..DANN

(Aussagenlogik Kapitel 2.4)

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Haben wir 2 Aussagen, wollen wir mittels einer WENN..DANN-Verknüpfung ausdrücken, dass die eine Aussage eine Bedingung für die andere ist.
D.h. haben wir zwei Aussagen
  • γ
  • δ
wollen wir mit einer Aussage der Form
  • WENN γ DANN δ
sagen, dass immer wenn γ gilt, auch δ gelten muss.

Beispiel - Umgangssprachliche Formulierungen der Bedingung (1)

Die folgenden Sätze sind äquivalent:
  • Wenn sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet, dann ist auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar.
  • Dass sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar ist.
  • Schon wenn sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet, ist auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar.
  • Die Tatsache, dass sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet reicht aus, dass auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar ist.
Wir sagen γ ist eine hinreichende Bedingung für δ, wenn es ausreicht, dass γ gilt, sodass δ gelten muss.

Beispiel - Umgangssprachliche Formulierungen der Bedingung (2)

Die folgenden Sätze sind ebenfalls zu den obigen äquivalent:
  • Dass auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar ist, ist eine notwendige Bedingung dafür, dass sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet.
  • Nur wenn auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar ist, kann es sein, dass sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet.
  • Der Wumpus befindet sich nicht auf Feld [A,3], oder die auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar.
Wir sagen δ ist eine notwendige Bedingung für γ, wenn δ gelten muss, sodass γ überhaupt gelten kann.

Ist γ eine hinreichende Bedingung für δ, ist δ automatisch eine notwendige Bedingung für γ.
γ ist eine hinreichende Bedingung für δ
d.h. immer wenn γ gilt, gilt auch δ
d.h. es ist nicht möglich, dass δ gilt obwohl γ nicht gilt
d.h. damit γ überhaupt gelten kann, muss δ gelten
dies entspricht der notwendigen Bedingung von δ für γ

Eine Aussage der Form WENN γ DANN δ, die die hinreichende Bedingung von γ für δ ausdrückt bezeichnen wir als (materiale) Implikation.

γ nennen wir Prämisse (oder auch Annahme), δ Konklusion.

Bewertung

Haben wir eine Aussage der Form 'WENN γ DANN δ' bedeutet dies, dass
  • δ eine notwendige Bedingung für γ ist.

    Die Gültigkeit von δ ist zwar erforderlich, reicht aber nicht aus, um eine Aussage über γ treffen zu können.
    Aus der Gültigkeit von δ kann nicht auf die Gültigkeit von γ geschlossen werden.
    D.h. gilt δ, kann γ gelten oder auch nicht.

    Daraus folgt, dass die Gesamtaussage auf jeden Fall gilt, sobald δ gilt.
     
  • γ eine hinreichende Bedingung für δ ist.

    Sobald γ gilt, muss δ gelten.
    Aus der Tatsachem dass γ nicht gilt, kann jedoch nicht auf die Bewertung von δ geschlossen werden.
    D.h. gilt γ nicht, kann δ gelten oder auch nicht.

    Daraus folgt, dass die Aussage auf jeden Fall gilt, sobald γ nicht gilt.

Das über die hinreichende Bedingung definierte "WENN γ DANN δ" ist also gleichbedeutend mit "γ gilt nicht, oder (nichtausschließendes Oder) auch δ gilt".

D.h.
Die materiale Implikation drückt die hinreichende Bedingung der Prämisse für die Konklusion aus: sie ist nur bei wahrer Prämisse und falscher Konklusion falsch.

Beispiel - Bewertung der materialen Implikation

Die Aussage
  • WENN sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet, DANN ist auf Feld [A,2] ein Gestank bemerkbar.
setzt sich aus den Elementaraussagen
  • γ: Der Wumpus befindet sich auf Feld [A,3].
  • δ: Auf Feld [A,2] ist ein Gestank bemerkbar.
zusammen.

Betrachten wir alle möglichen Kombinationen der relevanten Zustände der Welt, so ergibt sich folgende Tabelle:

Zustand der Welt /
Bewertung von γ 		Zustand der Welt /
Bewertung von δ 		Bewertung von WENN γ DANN δ
Der Wumpus befindet sich nicht auf Feld [A,3] /
falsch 		Auf Feld [A,2] ist kein Gestank bemerkbar /
falsch 		wahr
Der Wumpus befindet sich nicht auf Feld [A,3] /
falsch 		Auf Feld [A,2] ist ein Gestank bemerkbar /
wahr 		wahr
Der Wumpus befindet sich auf Feld [A,3] /
wahr 		Auf Feld [A,2] ist kein Gestank bemerkbar /
falsch 		falsch
Der Wumpus befindet sich auf Feld [A,3] /
wahr 		Auf Feld [A,2] ist ein Gestank bemerkbar /
wahr 		wahr
WENN..DANN wird in der deutschen Sprache meist verwendet, um inhaltliche (kausale oder temporale) Zusammenhänge auszudrücken.
Mit der materialen Implikation drücken wir allerdings einen rein formalen Zusammenhang aus, der auf den ersten Blick oft nicht sehr intuitiv ist, und zu einigen Bemerkungen führt.