Die Monotonieeigenschaft

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Beispiel - Die Aussagenlogik ist monoton

Betrachten wir wieder den Ausschnitt aus der Wumpus-Welt:
Nehmen wir an, die Formelmenge Γ besteht aus folgenden Formeln:

• γ₁=luftzug_b1->falle_c1|falle_b2
• γ₂=!luftzug_a2->!falle_b2&!falle_a3
• γ₃=luftzug_b1
• γ₄=!luftzug_a2

Wir haben bereits im letzten Kapitel gezeigt, dass wir daraus

• γ=falle_c1

logisch schließen können, dass also Γ|=γ gültig ist.

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Da jedes Modell einer Menge Γ

• auch ein Modell jeder Formel aus Γ sein muss und somit
• auch ein Modell einer beliebigen Menge Δ ⊆ Γ ist,

gilt

• Mod(Γ) ⊆ Mod(Δ)

Fügen wir nun der Menge Γ eine Formel δ hinzu und erhalten

• Γ₁=Γ∪δ

so gilt offensichtlich

• Γ ⊆ Γ₁ und somit
• Mod(Γ₁)=Mod(Γ∪δ) ⊆ Mod(Γ)

Da wir bereits gezeigt haben, dass

• Mod(Γ) ⊆ Mod(γ)

gilt auch

• Mod(Γ∪δ) ⊆ Mod(γ)

Dies entspricht der Definition der logischen Konsequenz.
Γ∪δ|=γ ist also (semantisch) gültig

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