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Was wollen wir ausdrücken

(Aussagenlogik Kapitel 2)

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Wir wollen Aussagen (Sätze einer natürlichen oder künstlichen Sprache) und Schlüsse daraufhin untersuchen, ob sie
  • wahr
  • oder falsch
sind.

Beispiel - Problemstellung "Winde und Fenster"

Lewis Carroll, der Autor von "Alice im Wunderland", war nicht nur Schriftsteller, sondern hauptsächlich Mathematiker, und beschäftigte sich viel mit Logik.
Das "Wind und Fenster" Problem stammt aus dem Buch "Lewis Carroll's Symbolic Logic"

Die Problemstellung besteht aus folgenden Aussagen:
  1. "Es ist immer sonnig, WENN der Wind aus Osten weht."
  2. "WENN es kalt und neblig ist, übt mein Nachbar Flöte."
  3. "WENN das Feuer raucht, öffne ich die Türe."
  4. "WENN es kalt ist UND ich mich rheumatisch fühle, entzünde ich ein Feuer."
  5. "WENN der Wind aus Osten kommt UND böig ist, raucht mein Feuer."
  6. "WENN die Türe offen ist, habe ich keine Kopfschmerzen."
  7. "WENN die Sonne scheint UND es nicht kalt ist, lasse ich das Fenster geschlossen, WENN es neblig ist."
  8. "WENN der Wind nicht böig ist, UND wenn das Feuer brennt UND die Türe geschlossen ist, fühle ich mich nicht rheumatisch."
  9. "Sonnenschein verursacht immer Nebel."
  10. "WENN mein Nachbar Flöte übt, schließe ich die Türe."
  11. "WENN es neblig ist UND der Wind aus Osten kommt, fühle ich mich rheumatisch."

Zu zeigen ist, dass
  • "WENN der Wind aus Osten kommt, lasse ich meine Fenster zu."

Beispiel - Problemstellung "Wumpus Welt"

Wir haben die Wumpus-Welt bereits beschrieben.

Die Problemstellung besteht z.B. aus folgenden Aussagen:
  1. Auf Feld [A,1] ist kein Gestank bemerkbar.
  2. Auf Feld [B,1] ist kein Gestank bemerkbar.
  3. Auf Feld [A,2] ist ein Gestank bemerkbar.
  4. Ist auf einem Feld kein Gestank bemerkbar, so kann sich der Wumpus weder auf dem Feld selber, noch auf dem Feld darüber, darunter, links davon oder rechts davon befinden.
  5. Ist auf einem Feld ein Gestank bemerkbar, befindet sich der Wumpus entweder auf dem Feld, oder auf dem Feld darüber, darunter, links davon oder rechts davon.
aus der Beispiel-Wumpus-Welt.

Und wollen zeigen, dass
  • sich der Wumpus auf Feld [A,3] befindet.
Die Bedeutung einer zusammengesetzten Aussage soll eindeutig durch die Bedeutung der Elementaraussagen und deren Zusammensetzung festgelegt sein (Extensionalität).

Aussagen sollen
  • als Elementaraussagen für sich alleine stehen - also z.B. "Die Sonne scheint"
  • NEGIERT sein - also z.B. "Es regnet NICHT", "Es ist NICHT der Fall, dass es regnet"
  • mittels UND verknüpft sein - also z.B. "Ich arbeite UND der Hund schläft"
  • mittels ODER verknüpft sein - also z.B. "Die Fallgrube befindet sich auf Feld [C,1] ODER auf Feld [B,2]"
  • mittels WENN..DANN verknüpft sein - also z.B. "WENN das Feuer raucht, DANN öffne ich das Fenster"
  • mittels GENAU DANN WENN verknüpft sein - also z.B. "Eine Zahl ist durch 3 teilbar GENAU DANN WENN ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist"
können.

Die Menge der oben genannten Junktoren ist funktional vollständig.
Die innere Struktur der Elementaraussagen wollen wir nicht weiter untersuchen.

Beispiel - Elementaraussagen

Satz Elementaraussagen
"WENN Rex bellt, DANN ist er ein Hund" "Rex ist ein Hund"
"Rex bellt"
"WENN der Hahn kräht am Mist, ändert sich's Wetter, ODER 's bleibt wie 's ist" "Der Hahn kräht am Mist"
"Das Wetter ändert sich"
"Das Wetter bleibt, wie es ist"
"Heute regnet es NICHT" "Heute regnet es"
"WENN es regnet UND es kalt ist, DANN ist die Strasse nass UND es besteht Rutschgefahr" "Es regnet"
"Es ist kalt"
"Die Strasse ist nass"
"Es besteht Rutschgefahr"
"Ein Glitzern ist GENAU DANN wahrnehmbar, WENN sich auf dem Feld Gold befindet." "Ein Glitzern ist wahrnehmbar"
"Auf dem Feld befindet sich Gold"
"Sonnenschein verursacht immer Nebel." "Die Sonne scheint"
"Es ist neblig"
"Auf Feld [B,1] ist kein Gestank bemerkbar" "Auf Feld [B,1] ist ein Gestank bemerkbar"
Um genau zu verstehen, was wir ausdrücken wollen, müssen wir noch die Bedeutung der Junktoren genauer erläutern.