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Die Teilformelrelation
(Aussagenlogik Kapitel 3.6)Diese Seite nimmt Bezug auf
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- Aussagenlogik: Formationsregeln
- Aussagenlogik: Bindung der Junktoren
Durch die Klammerung und die Bindung der Junktoren ist jede Formel eindeutig. D.h. es ist eindeutig bestimmt, welche Teile einer Formel wie zusammengehören.
Formal wird dieser Zusammenhang als Teilformel-Relation definiert.
Sagen wir, ein Junktor innerhalb eins Klammerausdrucks ist "weiter innen", als ein Junktor außerhalb des Klammerausdrucks, so sind die unmittelbaren Teilformeln einer Formel γ genau die Argumente des äußersten, am schwächsten bindenden Junktors.
Im Folgenden bezeichnen wir den Junktor von γ, dessen Argumente die unmittelbaren Teilformeln von γ sind als Hauptjunktor.
Formal wird dieser Zusammenhang als Teilformel-Relation definiert.
Eine unmittelbare Teilformel einer Formel ist:
Die Menge der Teilformeln einer Formel γ ist die kleinste Menge, die γ enthält, sowie alle unmittelbaren Teilformeln aller ihrer Elemente.
- T, F und alle Atome haben keine unmittelbare Teilformel
- γ ist die unmittelbare Teilformel von °γ für alle 1-stelligen Junktoren ° (also ° ∈ {!})
- γ und δ sind die unmittelbaren Teilformeln von γ°δ für alle 2-stelligen Junktoren ° (also ° ∈ {&, |, ->, <->})
Die Menge der Teilformeln einer Formel γ ist die kleinste Menge, die γ enthält, sowie alle unmittelbaren Teilformeln aller ihrer Elemente.
Sagen wir, ein Junktor innerhalb eins Klammerausdrucks ist "weiter innen", als ein Junktor außerhalb des Klammerausdrucks, so sind die unmittelbaren Teilformeln einer Formel γ genau die Argumente des äußersten, am schwächsten bindenden Junktors.
Im Folgenden bezeichnen wir den Junktor von γ, dessen Argumente die unmittelbaren Teilformeln von γ sind als Hauptjunktor.
Beispiel - Teilformeln
Betrachten wir die FormelDer Hauptjunktor (also der schwächste, äußerste Junktor) von α ist die Disjunktion. Die unmittelbaren Teilformeln sind also
- α = !p&(q->r)|s
Der Hauptjunktor von β ist die Konjunktion. Die unmittelbaren Teilformeln sind also
- β = !p&(q->r)
- γ = s
Der Hauptjunktor von δ ist die Negation. Die unmittelbare Teilformel ist also
- δ = !p
- ε = q->r
Diese hat keine weiteren unmittelbaren Teilformeln.
- ζ = p
Der Hauptjunktor von ε ist die Implikation. Die unmittelbaren Teilformeln sind alsoDiese haben keine weiteren unmittelbaren Teilformeln und auch γ hat keine weiteren unmittelbaren Teilformeln.
- η = q
- θ = r
Da wir nun alle unmittelbaren Teilformeln von α und alle unmittelbaren Teilformeln der aus der Zerlegung entstandenen Formeln betrachtet haben, besteht die Menge der Teilformeln von α also aus {}
- !p&(q->r)|s (= α)
- !p&(q->r) (= β)
- q->r (= ε)
- !p (= δ)
- p (= ζ)
- q (= η)
- r (= θ)
- s (= γ)
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