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Inhalt Logik Einführung

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  1. Einleitung
  2. Die Wumpus-Welt
    1. Spielspezifikation
      Beispiel 1: Eine mögliche Wumpus-Welt
    2. Beispiel
  3. Intelligente Systeme
    1. Die Wissensebene
      Beispiel 1: Wissensbasis Wumpus-Welt
    2. Die Logikebene
      Beispiel 1: Logik-Ebene Wumpus-Welt
    3. Die Implementationsebene
  4. Formale Sprachen
    Beispiel 1: Mehrdeutigkeit natürlicher Sprache
    1. Syntax vs. Semantik
      Beispiel 1: Syntax vs. Semantik: Wumpus-Welt
      Beispiel 2: Syntax vs. Semantik: elementare Algebra
    2. Atome & Junktoren
      Beispiel 1: Atome und Junktoren
  5. Syntax
    Beispiel 1: Syntax: Wumpus-Welt
    1. Kalkül
      1. Alphabet
        Beispiel 1: Alphabet: Wumpus-Welt
        Beispiel 2: Alphabet: elementare Algebra
      2. Formationsregeln
        Beispiel 1: Formationsregeln: Wumpus-Welt
        Beispiel 2: Formationsregeln: elementare Algebra
  6. Semantik
    Beispiel 1: unterschiedliche Welten: Wumpus-Welt
    Beispiel 2: unterschiedliche Welten: Zahlen
    1. Interpretation
      Beispiel 1: Interpretation Wumpus-Welt
      Beispiel 2: Interpretation von Ereignissen
    2. Bewertungsfunktion
      Beispiel 1: Bewertung Wumpus-Welt
      Beispiel 2: Bewertung von Ereignissen
    3. Extensionalität / Intensionalität
      Beispiel 1: Extensionale Sprachen
      Beispiel 2: Intensionale Sprachen
    4. Formeln & Interpretationen
      Beispiel 1: Eine Interpretation erfüllt eine Formel
      1. Erfüllbarkeit
        Beispiel 1: Eine Formel ist erfüllbar
      2. Widerlegbarkeit
        Beispiel 1: Eine Formel ist widerlegbar
      3. Unerfüllbarkeit
        Beispiel 1: Eine Formel ist unerfüllbar
      4. Gültigkeit
        Beispiel 1: Eine Formel ist gültig
      5. Zusammenhänge
  7. Beweis & Schluss
    1. Der logische Schluss
      Beispiel 1: Die Nadel im Heuhaufen: logischer Schluss
      Beispiel 2: Logischer Schluss: Wumpus-Welt
    2. Der logische Beweis
      Beispiel 1: Die Nadel im Heuhaufen: logischer Beweis
      Beispiel 2: Logischer Beweis: Wumpus-Welt
      1. Axiome
      2. Schlussregeln
    3. Korrektheit & Vollständigkeit
    4. Semantische Gültigkeit & logischer Beweis
  8. Abschließende Betrachtung von Logiken
    1. Klassifizierung von Logiken
    2. Unterschiedliche Kalküle, gleiche Logik
      Beispiel 1: Unterschiedliche Formeln für die gleiche Aussage
      1. Mögliche Anzahl der Junktoren
        Beispiel 1: Einige extensionale 2-stellige Junktoren einer 2-wertigen Logik
      2. Funktionale Vollständigkeit
        Beispiel 1: Ersetzung von Junktoren durch andere
        Beispiel 2: Funktional vollständige Junktorenmenge
    3. Unterscheidungsmerkmale - Einsatzmöglichkeiten eines Kalküls
      Beispiel 1: Direkter vs. indirekter Beweis
  9. Beispiele
    1. Aussagenlogik
      Beispiel 1: Mögliche Sätze in der Aussagenlogik
      Beispiel 2: Die Wumpus-Welt in der Aussagenlogik
    2. Prädikatenlogik
      Beispiel 1: Mögliche Sätze in der Prädikatenlogik
      Beispiel 2: Die Wumpus-Welt in der Prädikatenlogik
    3. Mehrwertige Logiken
      Beispiel 1: Fuzzyfunktion für das Alter eines Menschen
      Beispiel 2: Die Wumpus-Welt in einer mehrwertigen Logik
    4. Modallogiken
      Beispiel 1: Mögliche modallogische Aussagen
      Beispiel 2: Die Wumpus-Welt in einer Modallogik
    5. Nichtmonotone Logiken
      Beispiel 1: Kann Tux fliegen?
      Beispiel 2: Die Wumpus-Welt in einer Nichtmonotonen Logik


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Inhalt Aussagenlogik

  1. Einleitung
  2. Was wollen wir ausdrücken
    Beispiel 1: Problemstellung "Winde und Fenster"
    Beispiel 2: Problemstellung "Wumpus Welt"
    Beispiel 3: Elementaraussagen
    1. Die Negation: NICHT
      Beispiel 1: Negation
      Beispiel 2: Bewertung der Negation
    2. Die Konjunktion: UND
      Beispiel 1: Konjunktion
      Beispiel 2: Bewertung der Konjunktion
    3. Die Disjunktion: ODER
      Beispiel 1: ausschließendes Oder
      Beispiel 2: nichtausschließendes Oder
      Beispiel 3: Bewertung der Disjunktion
    4. Die (materiale) Implikation: WENN..DANN
      Beispiel 1: Umgangssprachliche Formulierungen der Bedingung (1)
      Beispiel 2: Umgangssprachliche Formulierungen der Bedingung (2)
      Beispiel 3: Bewertung der materialen Implikation
      1. Bemerkungen
        Beispiel 1: Paradoxien der materialen Implikation
        Beispiel 2: umgangssprachliches WENN..DANN vs. materiale Implikation (1)
        Beispiel 3: umgangssprachliches WENN..DANN vs. materiale Implikation (2)
    5. Die (materiale) Äquivalenz: GENAU DANN WENN
      Beispiel 1: materiale Äquivalenz
      Beispiel 2: Bewertung der materialen Äquivalenz
    6. Funktionale Vollständigkeit
      Beispiel 1: Umschreibung des ausschließenden Oders
      1. Mögliche Junktoren
  3. Syntax
    1. Alphabet
      Beispiel 1: Elementaraussagen
      Beispiel 2: Junktoren
      Beispiel 3: Bewertungen
      Beispiel 4: Gliederung
    2. Formationsregeln
      Beispiel 1: Formeln (1)
      Beispiel 2: Bedeutung atomarer Formeln
      Beispiel 3: Formeln (2)
      Beispiel 4: Formeln (3)
      Beispiel 5: Formeln (4)
      Beispiel 6: Formeln (5)
      Beispiel 7: Formeln (6)
      Beispiel 8: Formeln (7)
    3. Bindung der Junktoren
      Beispiel 1: Eindeutigkeit von Formeln
      Beispiel 2: Bindung der Junktoren
    4. Beispiele - Formalisierung von Aussagen
      Beispiel 1: Formalisierung natürlichsprachiger Sätze
      Beispiel 2: Formalisierung der Gestank-Regel der Wumpus-Welt
    5. interaktiv üben! - Formalisierung von Aussagen
    6. Die Teilformelrelation
      Beispiel 1: Teilformeln
    7. Der Formelbaum
      Beispiel 1: Eine Formel als Baum darstellen
      Beispiel 2: Formelbaum und Teilformeln
    8. interaktiv üben! - Formalbäume erstellen & Teilformeln erkennen
  4. Semantik
    Beispiel 1: Bewertung einer Formel
    1. Interpretationsfunktion
      Beispiel 1: Interpretation von Atomen
    2. Bewertungsfunktion
    3. Wahrheitstabellen
      Beispiel 1: Spalten der Wahrheitstabelle
      Beispiel 2: Eine Zeile der Wahrheitstabelle
      Beispiel 3: Die Wahrheitstabelle
    4. interaktiv üben! - Wahrheitstabellen erstellen
    5. Formeln & Interpretationen
      Beispiel 1: Eine Interpretation erfüllt eine Formelmenge
      Beispiel 2: Modelle einer Formel
      Beispiel 3: Äquivalente Formeln
      1. Beispiele
        Beispiel 1: Erfüllbarkeit einer Formelmenge
        Beispiel 2: Widerlegbarkeit einer Formelmenge
        Beispiel 3: Unerfüllbarkeit einer Formel
        Beispiel 4: Gültigkeit einer Formel
  5. Evaluierung einer Formel unter einer Interpretation
    1. Bewertung der Junktoren
      Beispiel 1: Bewertung der Konjunktion
      Beispiel 2: Bewertung der Disjunktion
      Beispiel 3: Bewertung der Implikation
    2. Evaluierung einer Formel
      Beispiel 1: Evaluierung einer Formel
    3. Mögliche Ersparnis
      Beispiel 1: Benötigte Schritte zur Evaluierung einer Formel (1)
      Beispiel 2: Benötigte Schritte zur Evaluierung einer Formel (2)
    4. interaktiv üben! - Evaluierung einer Formel unter einer Interpretation
  6. Umwandlung von Formeln
    1. Substitution
      Beispiel 1: Substitution
      Beispiel 2: Substitution ist gültigkeitserhaltend
      Beispiel 3: Gleiche Substitution auf äquivalenten Formeln ist äquivalenzerhaltend
    2. Ersetzung von Teilformeln
      Beispiel 1: Ersetzung logisch äquivalenter Formeln in der Arithmetik
      Beispiel 2: Ersetzung logisch äquivalenter Formeln in der Aussagenlogik
      1. Einige aussagenlogische Äquivalenzen - Vereinfachung von Formeln
        Beispiel 1: Vereinfachung einer Formel
        Beispiel 2: Umstrukurierung und Vereinfachung einer Formel
    3. Normalformen
      1. Negationsnormalform
        Beispiel 1: Formeln in Negationsnormalform
        Beispiel 2: Elimination der Wahrheitskonstanten
        Beispiel 3: Elimination der materialen Implikation und der materialen Äquivalenz
        Beispiel 4: Negationen direkt vor die Variablen und Konstanten schieben und doppelte Negationen eliminieren
        Beispiel 5: Weitere Vereinfachung der Formel
      2. Disjunktive Normalform
        Beispiel 1: Formeln in disjunktiver Normalform
        Beispiel 2: Umwandlung einer Formel in ihre disjunktive Normalform
      3. Konjunktive Normalform
        Beispiel 1: Formeln in konjunktiver Normalform
        Beispiel 2: Umwandlung einer Formel in ihre konjunktive Normalform
    4. interaktiv üben! - Umwandlung einer Formel in Normalformen
  7. Beweis & Schluss
    1. Der aussagenlogische Schluss
      Beispiel 1: Der logische Schluss
      1. Die Monotonieeigenschaft
        Beispiel 1: Die Aussagenlogik ist monoton
      2. Logische Konsequenz und Implikation - Das Deduktionstheorem
        Beispiel 1: Anwendung des Deduktionstheorems
      3. Das Widerlegungstheorem - der indirekte Beweis
        Beispiel 1: Widerlegungstheorem und indirekter Beweis
      4. Semantisches Prüfverfahren für die Gültigkeit eines Schlusses
    2. Aussagenlogische Beweisverfahren
      1. Der Sequentialkalkül
        Beispiel 1: Eine Ableitung im Sequentialkalkül
      2. Der Hilbert-Typ-Kalkül
        Beispiel 1: Eine Ableitung im Hilbert-Kalkül
      3. Die Resolution
        Beispiel 1: Eine Formel und die entsprechende Klauselmenge
        Beispiel 2: Eine Ableitung im Resolutionskalkül
  8. Semantische Tableaux
    1. Ein Tableaukalkül für Formeln in Negationsnormalform
      Beispiel 1: Erstellung eines Tableau
      Beispiel 2: Ablesen der Modelle aus einem Tableau
      Beispiel 3: Prüfung der Gültigkeit einer Formel mit einem Tableau
    2. interaktiv üben! - Erstellen eines semantischen Tableaux


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