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Mögliche Anzahl der Junktoren

(Logik Einführung Kapitel 8.2.1)

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Allgemein gilt:
Jede m-wertige Logik hat mmn extensionale n-stellige Junktoren.
n-stellige Junktoren haben n Argumente.
Jedes dieser Argumente kann m Wahrheitswerte annehmen - d.h. für jeden Junktor gibt es mn mögliche Werte-Kombinationen.
Weiters kann jede dieser Kombinationen m mögliche Gesamtbewertungen annehmen - d.h. es gibt mmn verschiedene Gesamtkombinationen.

Beispiel - Einige extensionale 2-stellige Junktoren einer 2-wertigen Logik

Für eine klassische Logik existieren auf Grund ihrer 2-wertigkeit
  • 221=4 1-stellige, und
  • 222=16 2-stellige
extensionale Junktoren.

Wir wollen einige der möglichen 2-stelligen Junktoren anhand der Wumpus-Welt mit Wahrheitstabellen anführen.

Für die beiden Argumente
  • Wumpus(A,3)
  • Gestank(A,2)
gibt es 22=4 mögliche Werte-Kombinationen, d.h. die Argumente können folgende Werte annehmen:

  Wumpus(A,3) Gestank(A,2)
1 falsch falsch
2 falsch wahr
3 wahr falsch
4 wahr wahr


Jeder dieser Kombinationen können wir wiederum einen von den 2 möglichen Werten als Ergebnis zuweisen, also z.B.
(° steht für einen beliebigen Junktor)

Wumpus(A,3) Gestank(A,2) Wumpus(A,3)°Gestank(A,2)
falsch falsch falsch
falsch wahr falsch
wahr falsch falsch
wahr wahr wahr

Das würde einer UND-Verknüpfung entsprechen

Wumpus(A,3) Gestank(A,2) Wumpus(A,3)°Gestank(A,2)
falsch falsch falsch
falsch wahr wahr
wahr falsch wahr
wahr wahr wahr

Das würde einer ODER-Verknüpfung entsprechen

Wumpus(A,3) Gestank(A,2) Wumpus(A,3)°Gestank(A,2)
falsch falsch wahr
falsch wahr falsch
wahr falsch falsch
wahr wahr wahr

Das würde einer GENAU_DANN_WENN-Verknüpfung entsprechen

Insgesamt können wir so 16 unterschiedliche Junktoren definieren.