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Der logische Schluss

(Logik Einführung Kapitel 7.1)

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Durch die Semantik wird auch das semantische Konzept des logischen Schluss (oder auch "Schlussfolgerung", "logische Konsequenz") definiert. Eine Formel ist genau dann eine logische Konsequenz aus einer Menge von Formeln, wenn sie vernünftigerweise aus diesen folgt.

Beispiel - Die Nadel im Heuhaufen: logischer Schluss

Suchen wir die Nadel im Heuhaufen, besteht der logische Schluss darin, dass:
  • Wenn jemand die Nadel im Heuhaufen fallen gelassen hat, muss sie dort sein
also:
  • Die Nadel ist im Heuhaufen ist eine logische Konsequenz davon, dass jemand diese darin fallen gelassen hat.
bzw.
  • Aus der Tatsache, dass jemand die Nadel im Heuhaufen fallen gelassen hat folgt, dass sie dort sein muss
D.h.:
  • Eine Formel ist genau dann eine logische Konsequenz einer Formelmenge,
  • wenn alle Interpretationen, welche die Menge erfüllen,
  • auch die Formel erfüllen.
Dies können wir formal wie folgt ausdrücken:

Wir sagen eine Formel γ folgt aus einer Menge von Formeln Γ, wenn alle Modelle von Γ auch Modelle von γ sind.
Wir sagen auch γ ist eine logische Konsequenz von Γ.

Γ bezeichnen wir als Annahmen oder Prämissen,
γ als Konklusion.

Führen wir den Folgerungsoperator |= ein,
schreiben wir Γ|=γ
wenn γ eine logische Konsequenz aus Γ ist
und sagen dann auch Γ|=γ ist (semantisch) gültig.

Die Behauptung, dass die Konklusion aus den Prämissen folgt, also Γ|=γ, bezeichnen wir als Argument.

D.h.:
  • Haben wir eine Formelmenge Γ
  • eine Formel γ
  • und ist γ immer (in allen Welten) erfüllbar, wenn (in denen) alle Formeln in Γ erfüllbar sind
  • sagen wir γ folgt aus Γ
  • und schreiben Γ|=γ

Beispiel - Logischer Schluss: Wumpus-Welt

Betrachten wir wieder die Wumpus-Welt.

Angenommen wir wissen, dass
Prämisse 1 NICHT Gestank(A,1)
Prämisse 2 WENN (NICHT Gestank(A,1))
DANN (NICHT Wumpus(A,1)
UND NICHT Wumpus(A,2)
UND NICHT Wumpus(B,1))

Daraus folgern wir vernünftigerweise z.B.
Konklusion NICHT Wumpus(A,2)
und schreiben
Argument {
NICHT Gestank(A,1),
WENN (NICHT Gestank(A,1)) DANN (NICHT Wumpus(A,1) UND NICHT Wumpus(A,2) UND NICHT Wumpus(B,1))
} |= NICHT Wumpus(A,2)

Dies ist vernünftig, weil es den Spezifikationen des Spieles und der Bedeutung der Aussagen entspricht:
wir wissen, dass es auf
  • Feld [A,1] nicht stinkt
und laut Spieldefinition
  • kann sich der Wumpus also weder auf dem Feld, noch auf einem direkt benachbarten Feld befinden.

In jeder Spielumgebung in der es auf Feld [A,1] nicht stinkt, kann sich der Wumpus also z.B. auch nicht auf Feld [A,2] befinden.
Jede Interpretation unter der
  • NICHT Gestank(A,1) wahr ist,
muss also auch
  • NICHT Wumpus(A,2) wahr sein.
D.h. jedes
  • Modell von NICHT Gestank(A,1)
ist auch ein
  • Modell von NICHT Wumpus(A,2)

Die Konklusion folgt also aus den Prämissen.
Das Argument ist (semantisch) gültig.
Eine Tautologie ist ein Satz, der sich ohne Verwendung von Prämissen folgern lässt, also für den |=γ gültig ist, da ihn alle Interpretationen erfüllen.